ПРЕПОДАВАТЕЛЬ ОН-ЛАЙН

Регистрация     Восстановление пароля
Программа Программа

Теория аппроксимации.

Специальный курс, 1 год (4-5 курсы)

Лектор - Галеев Э.М.

Введение в теорию аппроксимации:

1. Аппроксимация в линейных нормированных пространствах. Существование элемента наилучшего приближения конечномерным пространством. Геометрическая интерпретация.

2. Строго нормированные пространства. Единственность элемента наилучшего приближения в строго нормированных пространствах. Неравенство Юнга. Неравенства Гельдера для сумм и для интегралов. Неравенства Минковского для сумм и для интегралов. Примеры строго нормированных пространств: гильбертово пространство H, пространства l_p и L_p([a,b]) при 1<p<∞. Упражнения. Примеры не строго нормированных пространств: l_1, l_∞ и L_1([a,b]), L_∞([a,b]), C([a,b]).

3. Аппроксимация в гильбертовом пространстве. Проекция вектора на подпространство. Теорема об ортогональности и следствия из нее. Определитель Грама. Расстояние от точки до конечномерного подпространства. Свойства определителей Грама. Неравенство Адамара.

4. Полиномы наименее уклоняющиеся от нуля в пространстве L_p[-,]. Теорема Бернштейна. 

5. Теорема Чебышева об альтернансе. Следствие для полиномов Чебышева первого рода. Теорема об очистке для компакта. Теорема об очистке в субдифференциальной форме. Теорема Милютина-Дубовицкого.

6. Неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов.

7. Полиномы, наименее уклоняющиеся от нуля. Постановка задачи. Лемма о нулях. Полиномы Чебышева первого рода. Полиномы Чебышева второго рода. Полиномы Лежандра.

 Приближение классов периодических функций одной и нескольких переменных и конечномерных множеств:

1. Спектральные и проекционные поперечники конечномерных множеств. Теоремы о точном значении спектрального поперечника множеств , . Теоремы о порядке проекционного поперечника множества  и о точном значении проекционного поперечника октаэдра.

2. Нормы производных ядер Дирихле и Фавара. Предварительные сведения. Теоремы о норме одномерного ядра Дирихле и Фавара.

3. Вложение классов функций и множеств. Предварительные сведения. Определение дробной производной для периодических функций нескольких переменных. Введение классов функций Соболева, Нмкольского и Бесова. Теоремы Литтльвуда-Пэли, Марцинкевича о мультипликаторах. Неравенства Гельдера для интегралов и сумм, Минковского, неравенства для средних. Теоремы об отделимости в конечномерных пространствах. Теорема вложения конечномерных множеств. Теорема вложения функциональных классов. Теорема вложения функциональных классов с гармониками из логарифмически выпуклого замкнутого множества. Неравенства Хаусдорфа-Юнга в одномерном случае и для векторных норм.

4. Приближение суммами Фурье функциональных классов. Предварительные сведения. Неравенства разных метрик. Теоремы о приближении классов функций одной переменной  и  суммами Фурье. Приближении классов периодических функций многих переменных суммами Фурье в согласованной метрике. Теоремы о приближении классов функций  (и их пересечений) и  суммами Фурье в метрике .

5. Ядерные поперечники функциональных классов.Определение ядерного оператора, нормы и поперечника. Вспомогательная лемма. Теорема о поперечнике   

счетчик посещений