ПРЕПОДАВАТЕЛЬ ОН-ЛАЙН

Регистрация     Восстановление пароля
Программа курса Программа курса

Бакинский филиал

Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова

Программа курса "Выпуклый анализ и его приложения"

4-й курс факультета прикладной математики.

Лектор - профессор Галеев Э.М.

 

1. Выпуклые множества, конусы, аффиные множества. Комбинации конечного числа точек. Выпуклые функции. Примеры. Достаточные условия выпуклости. 

2. Теорема об ограниченной выпуклой функции.
3. Субдифференциал выпуклой функции. Примеры. Теоремы Моро-Рокафеллара, Дубовицкого-Милютина. Сублинейные функции.
Субдифференциал модуля функции. Субдифференциал нормы. 
4. Отделимость и строгая отделимость выпуклых множеств. Теоремы отделимости в конечномерном и нормированном пространствах. Пример двух непересекающихся выпуклых множеств, которые нельзя отделить. Теорема о строгой отделимости точки от множества в нормированном пространствеТеорема о строгой отделимости компакта. Лемма о замкнутости суммы замкнутого множества и компакта. Второе доказательство теоремы о строгой отделимости компакта. Контрпример для замкнутых множеств.
5. Задачи без ограничений. Аналог теоремы Ферма. Задачи с ограничением.
6. Задача выпуклого программирования. Теорема Каруша-Куна-Таккера. Условие Слейтера.
7. Достаточные условия минимума в выпуклой задаче с неравенствами без ограничения типа включения.
8. Пример решения выпуклой задачи. 
9. Пересечение, линейное отображение, сдвиг выпуклых, конических и аффинных множеств. Свойства операций над множествами. Эквивалентные определения выпуклых множеств, конусов, аффинных множеств (леммы и теоремы). 
10. Размерность множества. Леммы о представлении точек симплекса через вершины, о внутренних точках симплекса. Утверждение о непустоте внутренности в аффинной оболочке множества. следствия из него. Теорема Каратеодори. Теорема о выпуклой оболочке компакта.
11. Поляры множеств. Свойства. Примеры. Биполяра. Теорема о биполяре. Следствия из нее.
12. Сопряженный конус. Свойства. Примеры. Теорема о втором сопряженном конусе. Пример двух выпуклых замкнутых конусов, сумма которых есть незамкнутый конус. Теорема Дубовицкого-Милютина о непересечении конусов. Теорема о сопряженном конусе к пересечению конусов.
13. Постановки задач линейного программирования. Сведение различных форм. Симплекс-метод. Пример.

14. Преобразование Лежандра. Примеры.

15. Вывод задачи, двойственной к задаче в общей форме.

16. Вывод задачи двойственной к двойственной задаче ЛП в общей форме.
17. Вывод задачи, двойственной к задаче в канонической форме.
18. Теорема существования.
19. Теорема двойственности, критерий решения.
20. Свойства множества допустимых точек в задаче ЛП.
21. Доказательство симплекс-метода.
22. Переход к решению двойственной задачи, пример.
23. Метод искусственного базиса. Пример.
24. Транспортная задача, ее особенности. Методы нахождения начальной крайней точки.
25. Пример решения транспортной задачи.
26. Двойственная задача к транспортной. Обоснование метода потенциалов.
27. Задача о назначении. Пример. 
 
 счетчик посещений 

 

Печать