ПРЕПОДАВАТЕЛЬ ОН-ЛАЙН

Регистрация     Восстановление пароля
Лекции Лекции

Лекции по "Методам оптимизации", Баку, осень 2014 г.

Лекции являются переработанным вариантом материала из учебного пособия Галеева Э.М. "Оптимизация. Теория. Примеры. Задачи". Изд-во УРСС, 2013 г., стр.1-336.

Глава 1. Экстремальные задачи.

1. Задачи без ограничений  Презентация лекции

Выводятся необходимые и достаточные условия экстремума функций в задаче без ограничений. Формулируются теорема Вейерштрасса и критерий Сильвестра. Приводятся с решениями несколько примеров задач без ограничений.

2. Задачи с ограничениями типа равенств    Презентация лекции

Выводятся условия I порядка экстремума в задаче с ограничениями типа равенств. Формулируются необходимые и достаточные условия II порядка экстремума. Формулируются теорема Вейерштрасса и критерий Сильвестра. Приводятся с решениями 2 примера. Решается задача Аполлония о нахождении наиболее короткого и наиболее длинного отрезка из точки к эллипсу.

3. Задачи с ограничениями типа равенств и неравенств     Презентация лекции

Формулируются необходимые условия I порядка экстремума в задаче с ограничениями типа равенств и неравенств.Приводится пример решения задачи. Доказывается теорема о приведении квадратичной формы к главным осям путем решения экстремальных задач с ограничениями типа равенств и неравенств.

5. Элементы функционального анализа    Презентация лекции

Даются различные определения производных в нормированных пространствах. Приводятся контрпримеры. Даются теоремы и леммы функционального анализа (часть с доказательством, часть без) необходимые при выводе условий экстремума в задачах в нормировнных пространствах. Рассматриваются теоремы о среднем. Определяются касательные векторы. Формулируется теорема Люстерника о касательном пространстве. 

6. Задачи без ограничений в нормированных пространствах    Презентация лекции

Выводятся необходимые и достаточные условия экстремума в задаче без ограничений в нормированных пространствах. Приводятся два примера на разницу понятий положительности и строгой положительности оператора.

7. Задачи с равенствами в нормированных пространствах      Презентация лекции

Выводятся условия I порядка экстремума. Доказываются необходимые и достаточные условия II порядка экстремума.

8. Задачи с равенствами и неравенствами в нормированных пространствах     Презентация лекции

 Доказывается принцип Лагранжа для таких задач, используя отделимость точки от множества.

Глава 3. Вариационное исчисление.

1. Простейшая задача вариационного исчисления     Презентация лекции

Для простейшей задачи вариационного исчисления выводится с помощью леммы Лагранжа и леммы Дюбуа-Реймона уравнение Эйлера - необходимое условие экстремума. Приводятся два примера решения  задач.

2. Задача Больца       Презентация лекции

Для задачи Больца выводятся уравнение Эйлера и условия трансверсальности - необходимые условие экстремума. Приводится примера решения  задачи Больца.

3. Задача с подвижными концами      Презентация лекции

Для задачи с подвижными концами приводятся необходимые условие экстремума - уравнение Эйлера, условия трансверсальности, условие стационарности по подвижным концамПриводится пример решения задачи.

4. Изопериметрическая задача         Презентация лекции

Доказывается необходимое условие экстремума в изопериметрической задаче - уравнение Эйлера для Лагранжиана. Приводится пример решения изопериметрической задачи. Решается задача Дидоны.

5. Задача со старшими производными        Презентация лекции

Для задачи со старшими производными доказывается необходимое условие экстремума - уравнение Эйлера-ПуассонаПриводится пример решения задачи.

6. Задача Лагранжа           Презентация лекции

Для задачи Лагранжа доказываются необходимые условие экстремума - уравнение Эйлера, условия трансверсальности, дополняющей нежесткости, стационарности по подвижным концам, неотрицательностиПриводятся два примера решения задач.

Глава 4. Задачи оптимального управления

1. Принцип максимума Понтрягина в общем случае      Презентация лекции

Приводится постановка задачи оптимального управления в общем случае, формулируется необходимое условие экстремума, дается пример решения  задачи.

2. Принцип максимума Понтрягина для задачи с закрепленным концом   Презентация лекции

Для задачи оптимального управления с одним закрепленным и одним свободным концом доказываются необходимые условия экстремума.

3. Избранные задачи оптимального управления      Презентация лекции

Рассматриваются простейшая задача быстродействия и задача Ньютона о нахождении формы тела, испытывающего наименьшеее сопротивление. Приводятся также два примера решения  задач.

Глава 5. Условия второго порядка в вариационном исчислении

1. Простейшая задача вариационного исчисления

Сильный и слабый экстремум. Пример слабого, но не сильного. Условия Лежандра, Якоби, Вейерштрасса. Необходимые и достаточные условия сильного и слабого экстремума. Поле экстремалей. Основная формула Вейерштрасса. Теорема Боголюбова. Квадратичная задача. Примеры 1-2 исследования  задач.

Лекции по "Методам оптимизации", Баку, осень 2013 г.

Лекции являются переработанным вариантом материала из учебного пособия Галеева Э.М. "Оптимизация. Теория. Примеры. Задачи". Изд-во УРСС, 2013 г., стр.1-336.

Глава 1. Экстремальные задачи.

1. Задачи без ограничений

Выводятся необходимые и достаточные условия экстремума функций в задаче без ограничений. Формулируются теорема Вейерштрасса и критерий Сильвестра. Приводятся с решениями несколько примеров задач без ограничений.

2. Задачи с ограничениями типа равенств

Выводятся условия I порядка экстремума в задаче с ограничениями типа равенств. Формулируются необходимые и достаточные условия II порядка экстремума. Формулируются теорема Вейерштрасса и критерий Сильвестра. Приводятся с решениями 2 примера. Решается задача Аполлония о нахождении наиболее короткого и наиболее длинного отрезка из точки к эллипсу.

3. Задачи с ограничениями типа равенств и неравенств

Формулируются необходимые условия I порядка экстремума в задаче с ограничениями типа равенств и неравенств. Приводится пример решения задачи. Доказывается теорема о приведении квадратичной формы к главным осям путем решения экстремальных задач с ограничениями типа равенств и неравенств.

4. Выпуклые задачи

Даются элементы выпуклого анализа. Приводятся примеры выпуклых функций. Субдифференциал, теоремы субдифференциального исчисления. Отделимость, теоремы отделимости. Выпуклые задачи без ограничений, задачи с ограничением, задачи выпуклого программирования. Доказывается теорема Каруша-Куна-Таккера.Приводится пример решения выпуклой задачи.

5. Элементы функционального анализа

Даются различные определения производных в нормированных пространствах. Приводятся контрпримеры. Даются теоремы и леммы функционального анализа (часть с доказательством, часть без) необходимые при выводе условий экстремума в задачах в нормировнных пространствах. Рассматриваются теоремы о среднем. Определяются касательные векторы. Формулируется теорема Люстерника о касательном пространстве. 

6. Задачи без ограничений в нормированных пространствах

Выводятся необходимые и достаточные условия экстремума в задаче без ограничений в нормированных пространствах. Приводятся два примера на разницу понятий положительности и строгой положительности оператора.

7. Задачи с равенствами в нормированных пространствах

Выводятся условия I порядка экстремума. Доказываются необходимые и достаточные условия II порядка экстремума.

8. Задачи с равенствами и неравенствами в нормированных пространствах

 Доказывается принцип Лагранжа для таких задач, используя отделимость точки от множества.

Глава 3. Вариационное исчисление.

1. Простейшая задача вариационного исчисления

Для простейшей задачи вариационного исчисления выводится с помощью леммы Лагранжа и леммы Дюбуа-Реймона уравнение Эйлера - необходимое условие экстремума. Приводятся два примера решения  задач.

2. Задача Больца

Для задачи Больца выводятся уравнение Эйлера и условия трансверсальности - необходимые условие экстремума. Приводится примера решения  задачи Больца.

3. Задача с подвижными концами

Для задачи с подвижными концами приводятся необходимые условие экстремума - уравнение Эйлера, условия трансверсальности, условие стационарности по подвижным концамПриводится пример решения задачи.

4. Изопериметрическая задача

Доказывается необходимое условие экстремума в изопериметрической задаче - уравнение Эйлера для Лагранжиана. Приводится пример решения изопериметрической задачи. Решается задача Дидоны.

5. Задача со старшими производными 

Для задачи со старшими производными доказывается необходимое условие экстремума - уравнение Эйлера-ПуассонаПриводится пример решения задачи.

6. Задача Лагранжа 

Для задачи Лагранжа доказываются необходимые условие экстремума - уравнение Эйлера, условия трансверсальности, дополняющей нежесткости, стационарности по подвижным концам, неотрицательностиПриводятся два примера решения задач.

Глава 4. Задачи оптимального управления

1. Принцип максимума Понтрягина в общем случае

Приводится постановка задачи оптимального управления в общем случае, формулируется необходимое условие экстремума, дается пример решения  задачи.

2. Принцип максимума Понтрягина для задачи с закрепленным концом

Для задачи оптимального управления с одним закрепленным и одним свободным концом доказываются необходимые условия экстремума.

3. Избранные задачи оптимального управления

Рассматриваются простейшая задача быстродействия и задача Ньютона о нахождении формы тела, испытывающего наименьшеее сопротивление. Приводятся также два примера решения  задач.

Глава 5. Условия второго порядка в вариационном исчислении

1. Простейшая задача вариационного исчисления

Сильный и слабый экстремум. Пример слабого, но не сильного. Условия Лежандра, Якоби, Вейерштрасса. Необходимые и достаточные условия сильного и слабого экстремума. Поле экстремалей. Основная формула Вейерштрасса. Теорема Боголюбова. Квадратичная задача. Примеры 1-2 исследования  задач.

счетчик посещений