ПРЕПОДАВАТЕЛЬ ОН-ЛАЙН

Регистрация     Восстановление пароля
Лекции Лекции

 Лекции "Выпуклый анализ и его приложения", Баку, весна 2014 г.

Лекции главы 2 являются переработанным вариантом материала из учебного пособия Галеева Э.М. "Оптимизация. Теория. Примеры. Задачи". Изд-во УРСС, 2013 г., стр.1-336.

Глава 2. Линейное программирование

1. Симплекс-метод

Постановки задач линейного программирования в различных формах. Геометрическая интерпретация. Сведение различных форм друг к другу. Правило решения задач по симплекс-методу. Производственая задача. Два примера решения задач линейного программирования по симплекс-методу.

2. Двойственность в линейном программировании

Преобразование Лежандра. Примеры. Двойственные задачи. Вывод задачи двойственной к задаче в общей форме. Вывод задачи двойственной к двойственной задаче в общей форме. Вывод задачи двойственной к задаче в канонической форме. 

3. Обоснование симплекс-метода

Леммы 1-4. Конечнопорожденность конуса K. Замкнутость конечнопорожденного конуса. Теоремы существования, двойственности, критерий решения. Свойства множества допустимых точек. Предложения 1-2. Доказательство симплекс-метода.
 

4. Методы нахождения начальной крайней точки

Переход к решению двойственной задачи. Пример. Метод искусственного базиса. Примеры 1-3

5. Транспортная задача

 Постановка транспортной задачи. Особенности задачи. Методы нахождения начальной крайней точки в транспортной задаче (Северо-западного угла, минимум по матрице, минимум по строке, минимум по столбцу). Метод потенциалов. Примеры 1-3 решения транспортных задач. Задача двойственная к транспортной задаче. Обоснование метода потенциалов. решения транспортной задачи. Задача о назначении. Пример задачи о назначении.

Глава 1. §  4. Выпуклый анализ  Полный курс лекций - Часть 2

1. Элементы выпуклого анализа:  Лекция  Презентация лекции

Выпуклые множества, конусы, аффиные множества. Комбинации конечного числа точек. Выпуклые функции. Достаточные условия выпуклости функций одной и нескольких переменных. Примеры выпуклых функций. Теорема о выпуклой ограниченной функции. Субдифференциал выпуклой функции. Теоремы Моро--Рокафеллара и Дубовицкого--Милютина. Сублинейные функции. Субдифференциал модуля функции. Субдифференциал нормы.   

2. Отделимость выпуклых множеств:  Лекция  Презентация лекции

Определения отделимости множеств и строгой отделимости. Теоремы отделимости в конечномерном и нормированном пространствах. Пример двух непересекающихся выпуклых множеств, которые нельзя отделить. Теорема о строгой отделимости точки от множества в нормированном пространствеТеорема о строгой отделимости компакта. Лемма о замкнутости суммы (разности) замкнутого множества и компакта. Второе доказательство теоремы о строгой отделимости компакта. Контрпример для замкнутых множеств. 

3. Выпуклые задачи:  Лекция  Презентация лекции

Задачи без ограничений. Аналог теоремы Ферма. Задачи с ограничением. Задача выпуклого программирования. Теорема Каруша-Куна–Таккера. Условие Слейтера. Теорема о достаточных условиях абсолютного минимума в выпуклой задаче с неравенствами без ограничения типа включения. Пример.

4. Выпуклые, конические, аффинные множества:  Лекция  Презентация лекции

Свойства операций над множествами. Эквивалентные определения выпуклых множеств (две леммы и три теоремы). Эквивалентные определения выпуклых конусов (две леммы и две теоремы). Эквивалентные определения аффинных множеств (две леммы и две теоремы).

5. Размерность множества:  Лекция  Презентация лекции

Определения размерности множества. Лемма о представлении точек симплекса через вершины. Лемма о внутренних точках симплекса. Утверждение о непустоте внутренности в аффинной оболочке множества. следствия из него. Теорема Каратеодори. Теорема о выпуклой оболочке компакта. 

6. Поляры множеств:  Лекция  Презентация лекции

Пространства в двойственности. Определение поляр множеств. Свойства поляры. Примеры поляр множеств. Биполяра. Теорема о биполяре. Следствия из нее.

7. Сопряженный конус:  Лекция  Презентация лекции

Определение сопряженного конуса. Примеры сопряженных конусов. Теорема о втором сопряженном конусе. Свойства сопряженного конуса. Пример двух выпуклых замкнутых конусов, сумма которых есть незамкнутый конус. Теорема Дубовицкого-Милютина о непересечении конусов. Теорема о сопряженном конусе к пересечению конусов. 

счетчик посещений