ПРЕПОДАВАТЕЛЬ ОН-ЛАЙН

Регистрация     Восстановление пароля
Лекции Лекции

 Лекции по "Вариационному исчислению и оптимальному управлению". 

Лекции являются переработанным вариантом материала из учебного пособия Галеева Э.М. "Оптимизация. Теория. Примеры. Задачи". Изд-во УРСС, 2013 г., стр.1-336.

Глава 1. Экстремальные задачи

1. Задачи без ограничений

Выводятся необходимые и достаточные условия экстремума функций в задаче без ограничений. Формулируются теорема Вейерштрасса и критерий Сильвестра. Приводятся с решениями два примера задач без ограничений.

2. Задачи с ограничениями типа равенств

Выводятся условия I порядка экстремума в задаче с ограничениями типа равенств. Формулируются необходимые и достаточные условия II порядка экстремума, конечномерная теорема об обратной функции. Формулируются теорема Вейерштрасса и критерий Сильвестра. Приводятся с решениями два примера. Решается задача Аполлония о нахождении наиболее короткого и наиболее длинного отрезка из точки к эллипсу.

3. Задачи с ограничениями типа равенств и неравенств

Формулируются необходимые условия I порядка экстремума в задаче с ограничениями типа равенств и неравенств. Приводится пример решения задачи. Доказывается теорема о приведении квадратичной формы к главным осям путем решения экстремальных задач с ограничениями типа равенств и неравенств.

4. Выпуклые задачи

Даются элементы выпуклого анализа. Приводятся примеры выпуклых функций. Субдифференциал, теоремы субдифференциального исчисления. Отделимость, теоремы отделимости. Выпуклые задачи без ограничений, задачи с ограничением, задачи выпуклого программирования. Доказывается теорема Каруша-Куна-Таккера. Приводится пример решения выпуклой задачи.

5. Элементы функционального анализа

Даются различные определения производных в нормированных пространствах. Приводятся контрпримеры. Даются теоремы и леммы функционального анализа (часть с доказательством, часть без) необходимые при выводе условий экстремума в задачах в нормированных пространствах. Рассматриваются теоремы о среднем. Определяются касательные векторы. Доказывается теорема Люстерника о касательном пространстве. 

6. Задачи без ограничений в нормированных пространствах

Выводятся необходимые и достаточные условия экстремума в задаче без ограничений в нормированных пространствах. Приводятся два примера на разницу понятий положительности и строгой положительности оператора.

7. Задачи с равенствами в нормированных пространствах

Выводятся условия I порядка экстремума. Доказываются необходимые и достаточные условия II порядка экстремума.

8. Задачи с равенствами и неравенствами в нормированных пространствах

Доказывается принцип Лагранжа для таких задач, используя отделимость точки от множества.

Глава 3. Вариационное исчисление

1. Простейшая задача вариационного исчисления

Для простейшей задачи вариационного исчисления выводится с помощью леммы Лагранжа и леммы Дюбуа-Реймона уравнение Эйлера - необходимое условие экстремума. Приводятся два примера решения  задач.

2. Задача Больца

Для задачи Больца выводятся уравнение Эйлера и условия трансверсальности - необходимые условие экстремума. Приводится примера решения  задачи Больца.

3. Задача с подвижными концами

Для задачи с подвижными концами приводятся необходимые условие экстремума - уравнение Эйлера, условия трансверсальности, условие стационарности по подвижным концамПриводится пример решения задачи.

4. Изопериметрическая задача

Доказывается необходимое условие экстремума в изопериметрической задаче - уравнение Эйлера для Лагранжиана. Приводится пример решения изопериметрической задачи. Решается задача Дидоны.

5. Задача со старшими производными 

Для задачи со старшими производными доказывается необходимое условие экстремума - уравнение Эйлера-ПуассонаПриводится пример решения задачи.

6. Задача Лагранжа  

Для задачи Лагранжа доказываются необходимые условие экстремума - уравнение Эйлера, условия трансверсальности, дополняющей нежесткости, стационарности по подвижным концам, неотрицательностиПриводятся два примера решения задач.

Глава 4. Задачи оптимального управления

1. Принцип максимума Понтрягина в общем случае

Приводится постановка задачи оптимального управления в общем случае, формулируется необходимое условие экстремума, дается пример решения  задачи.

2. Принцип максимума Понтрягина для задачи с закрепленным концом

Для задачи оптимального управления с одним закрепленным и одним свободным концом доказываются необходимые условия экстремума.

3. Избранные задачи оптимального управления

Рассматриваются простейшая задача быстродействия и задача Ньютона о нахождении формы тела, испытывающего наименьшеее сопротивление. Приводятся также два примера решения  задач.

Глава 5. Условия второго порядка в вариационном исчислении

1. Простейшая задача вариационного исчисления

Сильный и слабый экстремум. Пример слабого, но не сильного. Условия Лежандра, Якоби, Вейерштрасса. Необходимые и достаточные условия сильного и слабого экстремума. Поле экстремалей. Основная формула Вейерштрасса. Теорема Боголюбова. Квадратичная задача. Примеры 1-2 исследования  задач.

счетчик посещений